http://elementy.ru/problems/1594/Falshiv... Мне кажется, что я её уже решил. Но как получить из решения ответ — я пока не знаю. Я предлагаю взвеивать так. Из 21 стран одну страну исключить, она во взвешиваниях не участвует. Для двух взвешиваний взять монетки так: 1-е: 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 2-е :2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 3 4 1 2 3 5 1 2 3 4 То есть, для каждой страны для каждого взвешивания количество монеток будет разным. Общее же количество монеток будет одинаковым. Если получилось, что суммарный вес оказался равным, то другой вес имеют монетки, которые не участвовали во взвешивании. А если вес различен? Я ещё не придумал, что делать в этом случае, но я уверен, что мои взвешивания позволяют найти ответ.
2017-07-17 10:59:21

Участники:
@Strephil - 9

@Strephil
Пусть x — вес обычных монет, d — разница, a — количество необычных монет при первом взвешивании, b — при втором. Тогда при первом взвешивании суммарный вес будет равен 60x + ad, при втором 60x+bd. Так как по условию задачи d < 8, И ad, и bd будут меньше 40, то есть, меньше 60. Так как веса монет целые, мы можем сразу же определить x: это целая часть от деления результов взвешивания на 60.
#2877733/1 2017-07-17 11:18:36
@Strephil
остаток от деления на 60 даст ad и bd.
#2877733/2 → /1 2017-07-17 11:20:51
@Strephil
дальше находим наибольший общий делитель. Если это простое число, то это по-видимому, d.
#2877733/3 → /2 2017-07-17 11:23:29
@Strephil
если это 6? то тут сложнее. Потому что в таком случае может быть d = 3, a = 2, b = 4.
#2877733/4 → /3 2017-07-17 11:25:05
@Strephil
короче, как-то по-другому нужно монетки раскладывать, а то получается неоднозначность. ad = 6, bd = 12. Тут может быть, что d = 6, a = 1, b = 2. Или d = 3, a = 2, b = 4.
#2877733/5 → /4 2017-07-17 11:28:08
@Strephil
нужно как-то сделать, чтобы a и b были взаимнопростыми.
#2877733/6 → /5 2017-07-17 11:31:45
@Strephil
если в парах 2 - 4 вместо 4 класть нулёк. Ещё я не учёл, что d может быть и больше, и меньше нуля. А при такой раскладке ab может оказаться больше половины веса монеты.
#2877733/7 → /6 2017-07-17 11:38:19
@Strephil
ну и нельзя какую-то монету вообще не взвешивать, тогда мы не узнаем её вес.
#2877733/8 → /7 2017-07-17 11:47:00
@Strephil
короче придумал вот такие вот две раскладки для взвешиваний: 1-я: 5 5 5 5 5 5 4 4 4 4 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1 1 2-я: 0 1 2 3 4 5 1 2 3 5 1 2 4 5 1 3 5 2 3 4 5 ни для каких двух стран количество монет не изменяется в той же мере (для восьмой страны в первом взвешивании кладётся 4 монеты, при втором взвешивании 2; но пары 2-1 нет). Равное количество монет только для одной, шестой, страны, по пять монет в обоих случаях. В первом взвешивании участвует 68 монет, во втором взвешивании — 61 монета. Можем ли мы уже по первому взвешиванию определить вес «обычной монеты», да можем. Если разница в большую или меньшую сторону не меньше 34, то мы по величине остатка от деления суммарного веса на 68 поймём, больше или меньше. Если же разница больше и равна 34, то это возможно в единственном случае: монету, чей вес отличается на 7, положили 5 раз. 68 - 35 = 33. Но получить разницу в 33 невозможно. Значит, остаток от деления 35 или 33 однозначно указывает, что вес отличается на 7 в большую или меньшую сторону. Пусть d — разница в весе одной монеты, a — сколько этих монет в первом взвешивании, b — во втором. Величины ad и bd. a / b однозначно указывает на страну. Всё, задачка для детишек решена.
#2877733/9 2017-07-17 12:25:10